Off-diagonal ordered Ramsey numbers

Abstract

We study ordered Ramsey numbers, an analogue of the classical Ramsey numbers for graphs with linearly ordered vertex sets. Inspired by a problem posed by Conlon, Fox, Lee and Sudakov, we focus on ordered Ramsey numbers of ordered matchings M< versus triangles. We generalize their lower bound on r<(M< , K< 3 ) for ordered matchings with any fixed interval chromatic number. We also analyze an upper bound on r<(M< , K< 3 ) for almost all ordered matchings M< with interval chromatic number 2 obtained by Rohatgi and improve it from O(n24/13 ) to O(n7/4 ). 1

V práci studujeme uspořádaná Ramseyova čísla, která jsou analogií klasických Ram- seyových čísel pro grafy s lineárně uspořádanými vrcholy. Motivováni problémem od autorů Conlon, Fox, Lee a Sudakov se zabýváme uspořádanými Ramseyovými čísly pro uspořádaná párování M< vůči trojúhelníku. Zobecníme jejich dolní odhad čísla r<(M< , K< 3 ) pro uspořádaná párování s libovolným pevně zvoleným intervalovým chro- matickým číslem. Také zlepšíme horní odhad čísla r<(M< , K< 3 ) pro téměř všechna uspořádaná párování s intervalovým chromatickým číslem 2, který dokázal Rohatgi, z O(n24/13 ) na O(n7/4 ). 1