Delta metoda a její zobecnění

Abstract

The goals of this thesis are various generalizations of the classical delta theorem, in which the advantage is that we can separately investigate the analytical properties of transformation of the estimate, and independently, we can deal with asymptotic properties of the original estimate. When working with Euclidean spaces, we generalize the delta theorem for the case that partial derivatives are not continuous or they are equal to zero. When working with general normed linear spaces, we first examine Hadamard- differentiability, while formulating and proving equivalence with Fréchet-differentiability, under proper assumptions. We demonstrate the functional delta theorem on known results for empirical quantiles and median absolute deviation in the case of a random sample, together with our own result for the interquartile range and empirical quantiles in the case of AR(d) sequence. We also show why the functional delta theorem is not usable for moment estimators. In the last part, we examine the Hadamard-differentiability of a copula functional and its application to the derivation of the asymptotic distribution of the empirical copula. 1

Cieľom tejto práce sú rôzne zovšeobecnenia klasickej delta vety, ktorej výhoda spočíva v tom, že sa môžeme zvlášť zaoberať analytickými vlastnosťami príslušnej transformácie a nezávisle na tom môžeme skúmať asymptotické vlastnosti pôvodného odhadu. Nad eukli- dovskými priestormi zovšeobecňujeme delta vetu pre prípad nespojitých alebo nulových parciálnych derivácií. Nad všeobecnými normovanými lineárnymi priestormi sa najprv zaoberáme Hadamardovou deriváciou, pričom formulujeme a dokazujeme, za akých pod- mienok je ekvivalentná s Fréchetovou deriváciou. Funkcionálnu delta vetu demonštrujeme na známych výsledkoch pre výberové kvantily a mediánovú absolútnu odchýlku v prípade náhodného výberu spolu s vlastnými výsledkami na interkvartilové rozpätie, výberové kvantily pri AR(d) procesoch a nepoužiteľnosť funkcionálnej delta vety na momentové odhady. V poslednej časti rozoberáme Hadamardovu deriváciu copule a jej uplatnenie k odvodeniu asymptotického rozdelenia empirickej copule. 1