Trigonometrické a Fourierovy řady a jejich aplikace

Abstract

Fourier series are an important tool of mathematical analysis with many applicati- ons. This thesis focuses on their use in several specific mathematical problems. The first application is the proof of the isoperimetric inequality, according to which the circle has the greatest area among closed curves of a given length. Next topic is the sequence of fractional parts of numbers of the form nγ, where n runs through natural numbers and γ is an irrational number. The so-called equidistribution theorem holds for this sequence describing how this sequence fills the interval (0, 1). Fourier series are then also used to obtain a formula for calculating the sum of even powers of the reciprocals of natu- ral numbers. The last chapter is devoted to the Gauss circle problem, which investigates the estimation of the number of lattice points inside a circle of a given radius. 1

Fourierovy řady jsou důležitým nástrojem matematické analýzy s mnoha aplikacemi. Tato diplomová práce se zaměřuje na jejich využití v několika konkrétních matematic- kých problémech. První aplikací je důkaz izoperimetrické nerovnosti. Ta říká, že největší obsah mezi uzavřenými křivkami dané délky má kružnice. Dále je věnována pozornost posloupnosti neceločíselných částí čísel ve tvaru nγ, kde n probíhá přirozená čísla a γ je iracionální číslo. Pro tuto posloupnost platí tzv. ekvidistribuční věta, která popisuje, ja- kým způsobem tato posloupnost pokrývá interval (0, 1). Následně jsou Fourierovy řady použity k získání vzorce pro součet sudých mocnin převrácených hodnot přirozených čí- sel. Poslední kapitola je věnována Gaussovu kruhovému problému, který zkoumá odhad počtu bodů s celočíselnými souřadnicemi uvnitř kruhu o daném poloměru. 1