Propagace šumu v algoritmech kostruujících krylovovské regularizační báze pro řešení inverzních problémů

Abstract

In this thesis we consider a linear inverse problem Ax ≈ b with a smoothing operator A and a right-hand side vector b polluted by unknown noise. To find good approximation of x we can use large family of iterative regularization methods, which compute the approximate solution by projection onto a Krylov subspace of small dimension. Even though this projection has filtering property, the high frequency noise propagates to the Krylov basis, which causes semiconvergence of the methods. The knowledge of intensity of noise propagation is therefore necessary to find reasonably precise approximation of the solution. In the thesis we study noise propagation in the Golub-Kahan iterative bidiagonali- zation and in the Lanczos algorithm, which construct the required Krylov subspace for LSQR and MINRES methods. For both methods, we analyze a noise-amplifying coef- ficient, for which we derive explicit formulas in both cases. For the Golub-Kahan bidi- agonalization, this analysis summarizes the theory from multiple sources. Analysis for the Lanczos algorithm is original. For both methods, we derive explicit relations between noise-amplifying coefficients and residual norms. Several numerical experiments are pre- sented to demonstrate properties of both algorithms. Impact of noise propagation on true errors and influence...

Tato práce se věnuje problému aproximace řešení lineárních inverzních úloh Ax ≈ b se zhlazujícím operátorem A a s pravou stranou b zanesenou náhodným šumem. Pro na- lezení vhodné aproximace x lze využít celou třídu regularizačních metod, které iterativně odhadují řešení pomocí jeho projekce na vhodně zvolený Krylovův prostor malé dimenze. Navzdory tomu, že tato projekce má filtrační vlastnosti, dochází k postupné propagaci šumu do projekce, což vede k semikonvergenci metod. Znalost míry propagace šumu je pak zásadní pro nalezení nejpřesnější aproximace řešení. Předložená práce studuje propagaci šumu v algoritmech Golub-Kahanovy iterační bidiagonalizace a Lanzosova algoritmu, které vytvářejí příslušný Krylovův prostor pro metody LSQR a MINRES. V práci analyzujeme koeficient, který v každé z metod am- plifikuje šum, pro oba algoritmy je tento koeficient vyjádřen pomocí koeficientů Lan- czosových polynomů, které jsou generovány při výpočtu ortonormální báze příslušného Krylovova prostoru. Pro Golub-Kahanovu iterační bidiagonalizaci jde o shrnutí a podrob- nější rozepsání dostupné literatury, pro Lanczosův algoritmus jde o původní práci. Pro obě metody dále dokazujeme vztah mezi koeficientem amplifikujícím šum a normou pří- slušného rezidua. Teoretické poznatky z práce jsou ilustrovány numerickými experimenty...