Proving combinatorial identities via formal power series

Abstract

V práci studujeme formální mocninné řady, rozšíření algebraického pojmu polynomu, s kanonickou metrikou. Zadefinujeme všechny nutné pojmy, například tuto metriku, skládání nebo formální derivaci. Dokážeme základní tvrzení o těchto pojmech, jako je charakterizace konvergence nekonečných řad nebo důkazy základních vlastností skládání a některých analytických vzorců s derivací. Pak se soustředíme na Lagrangeovu-Jacobiho větu o čtyřech čtvercích a definu- jeme Gaussovy koeficienty pro účely dokázání komplexnějších vět, například Ja- cobiho troj-součinové identity a Rogerových-Ramanujanových identit. Většinu z nich pak využijeme k důkazu zmíněné věty o čtyřech čtvercích. 1

In the thesis we study formal power series, an extension of the algebraic notion of a polynomial with a canonical metric. We define all the necessary tools, including said metric, composition and formal derivative. We prove ba- sic theorems concerning these notions, such as the characterization of infinite sum convergence, proving some basic properties of composition and proving some analytical formulas about the derivative. We then focus on the Lagrange- Jacobi four-square theorem and define and use Gauss' coefficients to prove some more complex theorems, such as Jacobi's triple product formula and Roger- Ramanujan identities. We then use most of them to prove the mentioned four- square theorem. 1