Modely aritmetických a bohatých teorií

Abstract

V předložené práci formulujeme problematiku oboru peanovských součinů (na daném modelu Presburgerovy aritmetiky (Pr)) jakožto potenciálně možného základu pro konstrukci modelů Peanovy aritmetiky (PA). Tato problematika je speciálním případem fenoménu prezentace, který úzce souvisí s pojmem bohaté teorie. Dále se zabýváme jednou ze základních otázek o oboru peanovských součinů, totiž problémem, zda na daném modelu M |= Pr mohou existovat dva peanovské součiny (· , ) shodující se na nějakém slicu a M: (x)(a·x = ax) a přitom různé pod a: (c, d < a)(c·d 6=c d). Tento problém převedeme na otázku, zda eliminační množina lineární aritmetiky (LA) je podmnožinou množiny existenčních formulí. Úplnou odpověď na tuto otázku v práci nepodáme, dokážeme pouze, že formule tvaru (x)(z1, z2) , kde je konjunkce rovností termů, je ekvivalentní s existenční. Naznačíme, že otázka eliminace v LA je podstatně těžší než v Pr či v teorii modulů a ukážeme, že souvisí s problémem popisu konečně generovaných podmonoidů Z. Přitom zavedeme pojmy (regulární množina, standardní racionalita, zubatice, . . .) a metody, které, jak věříme, budou podstatné pro případné budoucí rozřešení tohoto problému.

In the present thesis we study the domain of Peano products (in a given model of the Presburger arithmetic (Pr)) as a potentially possible base for a construction of models of the Peano arithmetic (PA). This issue is a special case of the presentation problem which is closely connected to the concept of rich theories. We are especially concerned with one of the basic questions about Peano products domain, i.e. if there exist a pair of Peano products (· , ) such that these products coincide in some slice a: (x)(a · x = a x) and are different below a: (c, d < a)(c · d 6= c d). We reduce this problem to the question if the eliminating set of formulas of the linear arithmetic (LA) is a subset of the set of all existential formulas. We do not solve this problem completely, we only prove that all formulas (x)(z1, z2) , where is a conjunction of equations of terms, are equivalent to existential formulas. We also suggest that the quantifier elimination in the linear arithmetic is considerably more difficult than the elimination in Pr or in the module theory and that it is connected to the problem of description of finitely generated submonoids of Z. We introduce concepts (regular set, standard rationality, saw,... ) and methods which, as we believe, will be essential for an eventual solution of the problem.