Frobeniovy testy prvočíselnosti

Abstract

Název práce: Frobeniovy testy prvočíselnosti Autor: Jan Hora Katedra (ústav): katedra algebry Vedoucí diplomové práce: prof. RNDr. Aleš Drápal, CSc. Dsc. e-mail vedoucího: drapal@karlin.mff.cuni.cz Abstrakt: V následující práci se zabýváme rozšířeným kvadratickým Frobeniovým testem prvočíselnosti. Studujeme důvody jeho funkčnosti, a jeho úspěšnost a výpočetní složitost. Zkonstruujeme okruh R(n, c), ve kterém test probíhá, a popíšeme jeho strukturu v závislosti na tom, zda testované číslo n je či není složené. Popíšeme algoritmus Frobeniova testu, a ukážeme, že test vždy uspěje, je-li n prvočíslem. Dále zjistíme, jaká je zaručená úspěšnost testu. Ukážeme, že test selže právě při výběru jistých prvků z množiny R(n, c), jejich množinu označíme G(n, c). Najdeme podmínky, které musí G(n, c) splňovat, a díky nim zjistíme, že pravděpodobnost selhání Frobeniova testu je nejvýše 1 24 . Poté rozborem složitosti jednotlivých částí algoritmu zjistíme, že k provedení jednoho cyklu Frobeniova testu stačí přibližně 2 log n násobení v Zn. Nakonec porovnáme teoretické odhady s prakticky získanými výsledky. Klíčová slova: test prvočíselnosti, Frobeniův automorfismus, cyklická grupa, odmocniny z jedné 1

Title: Frobenius primality tests Author: Jan Hora Department: Department of algebra Supervisor: prof. RNDr. Aleš Drápal, CSc. Dsc. Supervisor's e-mail address: drapal@karlin.mff.cuni.cz Abstract: In the present work we study Extended Quadratic Frobenius primality test. We study its functionality, error probability and taken time. We will define ring R(n, c), in which the test works. We will describe its structure depending up primality of tested number n, and algorithm of Frobenius test. We will show, that test succeeds anytime the tested number n is prime. We will study the upper bound for error probability of the test. We will show that test fails iff certain elements of set R(n, c) are chosen, Set of that elements will be denoted G(n, c). We will find conditions that G(n, c) must fulfil, and with them we will discover, that Frobenius test eroor probability is at most 1 24 . We will analyse individual parts of algorithm and discover, that one cyclus of Frobenius test can be done with approximately 2 log n multiplications in Zn. Finaly the teoretical estimates will be compared with practical results. Keywords: primality test, Frobenius automorfism, cyklic group, roots of one 1