Algebras over operads and properads

Abstract

Operády jsou objekty modelující operace s několika vstupy a jedním výstupem. Jako takové je definujeme v kontextu grafů, přesněji řečeno orientovaných stromů. Tuto strukturu pak zobecňujeme pomocí zobecnění těchto grafů na obecné orientované či neorientované grafy. Dále konstruujeme cobar komplex operád a properád a ilustrujeme tuto konstrukci na příkladu asociativní operády Ass a Frobeniovy properády Frob. Algebry nad cobar komplexem operád odpovídají určité homotopy algebře, pro náš příklad Ass je to A-infinity algebra. Určíme odpovídající Maurerovu- Cartanovu rovnici a převádíme ji z vyjádření v coderivacích do vyjádření v derivacích. Podobně určíme Maurerovu-Cartanovu rovnici pro cobar komplex Frobeniovy properády. Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)

Operads are objects that model operations with several inputs and one output. We define such structures in the context of graphs, namely oriented trees. Then we generalize operads to properads and modular operads by taking general graphs with, or without, orientation. Further we construct the cobar complex of operads and properads and illustrate the construction on the examples of the associative operad Ass and the Frobenius properad Frob. Algebras over the cobar complex of operads correspond to certain homotopy algebras, for our example of Ass it is A1. We find its Maurer-Cartan equation and convert it from coderivations to derivations. Similarly we find the Maurer-Cartan equation for cobar complex of Frobenius properad. Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)