Structure and complexity of homomorphisms

Abstract

This thesis is concerned with computational complexity aspects of graph homomorph- isms and related concepts. We are mainly interested in various polynomial time versus NP-complete dichotomies. These results are especially popular thanks to the seminal result of Hell and Nešetřil providing the complexity dichotomy for graph homomorph- ism problems and the recent breakthrough result proving the complexity dichotomy for constraint satisfaction problems. The thesis is divided into three parts, all unified by the common goal to provide complexity classifications of various graph homomorphism problems. The first part is about list homomorphism problems for signed graphs. We study the complexity of such problems and obtain a structural description and dichotomy first for the case of targets being signed trees and then for the so-called separable graphs. The second part focuses on graph covering projections, also known as locally bijective homomorphisms. To the best of our knowledge, we are the first to initiate cataloguing the complexity of the corresponding problems for (mutli)graphs with semi-edges. We have three larger goals here. (1) Providing the complete dichotomy for one- and two- vertex target graphs. (2) Discuss and propose the right definition of graph cover in the case of disconnected targets. (3)...

Tato práce se zabývá výpočetními problémy okolo grafových homomorfismů a příbuz- ných konceptů. Především se zabýváme složitostními dichotomiemi, které rozlišují mezi polynomiálními a NP-úplnými problémy. Výsledky tohoto typu jsou velmi populární, a to jak díky klasickému výsledku Hella a Nešetřila, tak i díky nedávnému vyřešení hypotézy o dichotomii pro problémy s omezujícími podmínkami (CSP). Práce se dělí na tři části, jejichž společným pojítkem je cíl prozkoumat složitost a následně určit dichotomii různých problémů speciálních typů či zobecnění grafových ho- momorfismů. První část se zabývá signed grafy, kde dokazujeme složitostní dichotomii listové, do- sud nezkoumané varianty homomorfismu pro případ, že cílový graf je strom anebo graf tzv. cyklově- nebo cestově-separovatelný. Druhá část se zabývá problémem grafového na- krytí, který je známý jak v algebraické, tak v algoritmické teorii grafů. Tato část práce si klade za cíl rozšířit zkoumání složitosti na grafy s povolenými vícenásobnými hranami, smyčkami a s půlhranami. Zde zkoumáme (a) klasifikaci složitosti pro jednovrcholové a dvouvrcholové cíle, (b) jaká je správná definice grafového nakrytí pro nesouvislé cíle a (c) co se stane, když přidáme do problému listové podmínky. Poslední část se zabývá acyklickými barveními a složitostí hledání...