Kategoriální metody v teorii struktur

Abstract

Název práce: Kategoriální metody v teorii struktur Autor: Jakub Opršal Katedra / Ústav: Matematický ústav Univerzity Karlovy Vedoucí diplomové práce: prof. RNDr. Věra Trnková, DrSc. Abstrakt: V první části práce se věnujeme funktorovým algebrám. Výjmečnou roli hrají iniciální funk- torové algebry, které lze získat tzv. konstrukcí iniciální algebry. V tomto roce Adámek a Trnková dokázali, že v kategorii množin se konstrukce může zastavit pouze po nejvýše třech krocích, nebo až na libovol- ném regulárním kardinálu. My na tento výsledek navazujeme a zkoumáme souvislost délky konstrukce a velikosti iniciální algebry. Ukazujeme, že délka konstrukce nikdy nepřesáhne kardinalitu iniciální algebry. Jinou transfinitiní konstrukci studoval Kelly v roce 1980. Popsal konstrukci volných algeber pro pointo- vané funktory a definoval třídu dobře pointovaných funktorů, pro které je konstrukce obzvláště jedno- duchá (a ve skutečnosti je zvláštním případem konstrukce relativně terminální algebry, kterou nedávno zkoumali Adámek a Trnková). V poslední kapitole popisujeme všechny dobře pointované funktory v kate- gorii množin a v kategorii k ní duální. Dále se věnujeme dobře pointovaným funktorům v mnohasortových množinách a popíšeme všechny možné třídy algeber pro takové funktory. Klíčová slova: funktorové algebry, konstrukce...

Title: Categorial methods in structure theory Author: Jakub Opršal Department / Institute: Mathematical Institute, Charles University Supervisor of the master thesis: prof. RNDr. Věra Trnková, DrSc. Abstract: In the first part of the thesis we investigate functor algebras. Initial algebras have distin- guished role in the study of these structures, and it can be constructed by certain transfinite construction, which is called initial algebra construction. Sooner this year Adámek and Trnková have prooved, that the construction stops in either at most three, or in κ steps where κ is a regular cardinal. We continue with their work, and we study the relation between the size of the algebra and the length of the convergence. We prove that the length of the convergence never exceeds the cardinality of the initial algebra. Another transfinite construction has been studied in 1980 by Kelly. He has described the construction of free algebras for a pointed functor and defined a class of well-pointed functors for which the construction is especially simple (and is in fact special case of the construction of relatively terminal coalgebra which has been recently defined by Adámek and Trnková). In the last chapter we describe all well-pointed functors in categories of sets and the dual category, and we provide list of...